Tìm giới hạn của một tích phân: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 31/07/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Giả sử $ f: [a, b] \ đến \ mathbb {R} $ là liên tục. Xác định nếu giới hạn sau tồn tại

$$ \ lim_ {n \ đến \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ tội ^ 3 (nx)} \: dx. $$

Khi $ f (x) $ và $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ liên tục, nên sản phẩm của họ là Riemann có thể tích hợp. Tuy nhiên $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ không tồn tại, vì vậy nó không hội tụ thống nhất và chúng ta không thể vượt qua giới hạn bên trong tích phân. Nó cũng không thỏa mãn trong các điều kiện của Định lý Dini. Tôi không biết làm thế nào để đưa ra một lập luận hợp lệ cho vấn đề này, nhưng tôi nghĩ theo những gì tôi nói giới hạn không tồn tại. Tôi đánh giá cao sự giúp đỡ nào.

3 Answers


Robert Israel 31/07/2017.

Remann-Lebesgue bổ đề . Lưu ý rằng $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 31/07/2017
Cảm ơn, tôi nghĩ, tôi có thể hoàn thành nó ngay bây giờ
Teepeemm 31/07/2017
Điều đó có vẻ tiên tiến hơn vấn đề đang kêu gọi.

Sangchul Lee 31/07/2017.

Một cách khác để giải quyết vấn đề này là sử dụng quan sát sau đây.

Proposition. Nếu $ f: [a, b] \ đến \ mathbb {R} $ liên tục, $ g: \ mathbb {R} \ đến \ mathbb {R} $ là liên tục và $ L $-periodic, thì

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ phải). $$

  1. Giả sử câu lệnh này, câu trả lời sau ngay lập tức vì $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ là $ 2 \ pi $ -periodic và

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ tội ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Trực giác rất rõ ràng: Nếu $ n $ là rất lớn, thì trên khoảng con $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ tập hợp con [a, b] $ chúng ta có

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ khoảng f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Vì vậy, bỏ qua chi tiết, chúng tôi sẽ có

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ phải) \ frac {1} {n} \ bên phải) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ bên phải) $$

    và lấy giới hạn là $ n \ đến \ infty $, phía bên tay phải hội tụ với giá trị mong muốn. Điền vào các chi tiết khá thường xuyên.

  3. Giả định về tính liên tục chỉ là một thiết lập kỹ thuật cho bằng chứng đơn giản, và bạn có thể thư giãn chúng đến một mức độ nhất định bằng cách trả thêm nỗ lực.


Michael Hartley 31/07/2017.

Bạn không thể kết luận $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ không tồn tại chỉ vì $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ thì không. Ví dụ: $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ không tồn tại, nhưng $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ vì tích phân bằng 0 cho tất cả $ n $.

Tôi e rằng tính hữu ích của tôi hết tại thời điểm này, mặc dù tôi nghĩ rằng giới hạn tồn tại: bạn nên, nếu không có gì khác, có thể tìm thấy một số đối số epsilon-delta thể hiện tích phân như tổng của một loạt các tích phân trong khoảng thời gian dài $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Đây có thể là một cách rất xấu để giải quyết vấn đề.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
4 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
7 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
10 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
11 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
12 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
13 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
14 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
15 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
16 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
17 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
18 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
19 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
20 Erika Sirola

Speechless flac

Erika Sirola. 2018. Writer: Teemu Brunila;Stefan Dabruck;Jürgen Dohr;Guido Kramer;Dennis Bierbrodt;Chris Braide;Robin Schulz.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags