Tìm giới hạn của một tích phân: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 31/07/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Giả sử $ f: [a, b] \ đến \ mathbb {R} $ là liên tục. Xác định nếu giới hạn sau tồn tại

$$ \ lim_ {n \ đến \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ tội ^ 3 (nx)} \: dx. $$

Khi $ f (x) $ và $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ liên tục, nên sản phẩm của họ là Riemann có thể tích hợp. Tuy nhiên $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ không tồn tại, vì vậy nó không hội tụ thống nhất và chúng ta không thể vượt qua giới hạn bên trong tích phân. Nó cũng không thỏa mãn trong các điều kiện của Định lý Dini. Tôi không biết làm thế nào để đưa ra một lập luận hợp lệ cho vấn đề này, nhưng tôi nghĩ theo những gì tôi nói giới hạn không tồn tại. Tôi đánh giá cao sự giúp đỡ nào.

3 Answers


Robert Israel 31/07/2017.

Remann-Lebesgue bổ đề . Lưu ý rằng $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 31/07/2017
Cảm ơn, tôi nghĩ, tôi có thể hoàn thành nó ngay bây giờ
Teepeemm 31/07/2017
Điều đó có vẻ tiên tiến hơn vấn đề đang kêu gọi.

Sangchul Lee 31/07/2017.

Một cách khác để giải quyết vấn đề này là sử dụng quan sát sau đây.

Proposition. Nếu $ f: [a, b] \ đến \ mathbb {R} $ liên tục, $ g: \ mathbb {R} \ đến \ mathbb {R} $ là liên tục và $ L $-periodic, thì

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ phải). $$

  1. Giả sử câu lệnh này, câu trả lời sau ngay lập tức vì $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ là $ 2 \ pi $ -periodic và

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ tội ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Trực giác rất rõ ràng: Nếu $ n $ là rất lớn, thì trên khoảng con $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ tập hợp con [a, b] $ chúng ta có

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ khoảng f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Vì vậy, bỏ qua chi tiết, chúng tôi sẽ có

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ phải) \ frac {1} {n} \ bên phải) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ bên phải) $$

    và lấy giới hạn là $ n \ đến \ infty $, phía bên tay phải hội tụ với giá trị mong muốn. Điền vào các chi tiết khá thường xuyên.

  3. Giả định về tính liên tục chỉ là một thiết lập kỹ thuật cho bằng chứng đơn giản, và bạn có thể thư giãn chúng đến một mức độ nhất định bằng cách trả thêm nỗ lực.


Michael Hartley 31/07/2017.

Bạn không thể kết luận $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ không tồn tại chỉ vì $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ thì không. Ví dụ: $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ không tồn tại, nhưng $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ vì tích phân bằng 0 cho tất cả $ n $.

Tôi e rằng tính hữu ích của tôi hết tại thời điểm này, mặc dù tôi nghĩ rằng giới hạn tồn tại: bạn nên, nếu không có gì khác, có thể tìm thấy một số đối số epsilon-delta thể hiện tích phân như tổng của một loạt các tích phân trong khoảng thời gian dài $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Đây có thể là một cách rất xấu để giải quyết vấn đề.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags