Chức năng luôn thấp hơn dẫn xuất của chúng

Mike Brown 11/09/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Tôi đã tự hỏi nếu có chức năng mà $$ f '(x)> f (x) $$ cho tất cả $ x $. Chỉ ví dụ tôi có thể nghĩ là $ e ^ x - c $ và chỉ đơn giản là $ - c $ trong đó $ c> 0 $. Ngoài ra, là có bất kỳ ý nghĩa trong một chức năng mà luôn luôn ít hơn dẫn xuất của nó?


Chỉnh sửa: Cảm ơn bạn rất nhiều vì tất cả các bài trả lời. Có vẻ như hầu như tất cả các chức năng áp dụng là theo cấp số nhân của tự nhiên ... Có nhiều ví dụ như - 1 / x?

Một lần nữa có bất kỳ ứng dụng / biểu hiện vật lý của các chức năng này? [ví dụ một vật có vận tốc luôn lớn hơn vị trí / gia tốc luôn lớn hơn vận tốc của nó]

3 Comments
1 BallpointBen 28/07/2017
Off đỉnh đầu của tôi, bất kỳ chức năng bị chặn, monotonically ngày càng tăng trong nửa dưới cùng máy bay.
1 Robin Saunders 29/07/2017
Câu trả lời của Ixion cho giải pháp tổng thể đầy đủ và đầy đủ nhất (mặc dù một số giải pháp cụ thể có thể ghi được dưới dạng đẹp hơn) và phải được chấp nhận.
Hamsteriffic 30/07/2017
+1! Nhưng hãy sửa tiêu đề, thay đổi "its" thành "their". Cách viết tiêu đề được viết ra, trong một khoảnh khắc, dường như bạn đã xem xét các dẫn xuất của tất cả các đơn đặt hàng. Và bây giờ tôi tò mò về câu hỏi bên lề này, haha!

12 Answers


Ixion 29/07/2017.

Nếu $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, chúng ta có thể định nghĩa $ f (x) = y' (x) -y (x) $ là tích cực forall $ x $. Giả sử $ y '(x) $ là hàm liên tục sao cho $ f (x) $ cũng liên tục. Bây giờ với phần tử này chúng ta có thể xây dựng phương trình vi phân $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ và các giải pháp của nó được cho bởi: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Một lần nữa có bất kỳ ứng dụng / biểu hiện vật lý của các chức năng này? [ví dụ một vật có vận tốc luôn lớn hơn vị trí / gia tốc luôn lớn hơn vận tốc của nó]

Tôi không biết có ứng dụng của tài sản này thú vị, nhưng tôi chắc chắn rằng bạn không thể so sánh vận tốc với vị trí bởi vì chúng không phải là số lượng đồng nhất.


Aidan Connelly 29/07/2017.

Giả sử $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Vì vậy, bạn có thể biến bất kỳ hàm $ g $ với $ g '(x)> 1 $ vào kiểu hàm này bằng cách lấy hàm mũ của nó:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ implies \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ ngụ ý \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 28/07/2017
Bạn giả sử $ f (x)> 0 $ vào đầu
2 MPW 28/07/2017
@ HagenvonEitzen: Sau đó, anh ta chỉ có thể sử dụng $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ làm điểm xuất phát cho bất kỳ $ f $ nào. Bằng cách đó, một người luôn luôn có $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 29/07/2017
Câu trả lời của Ixion cho phép khái quát đầy đủ bằng cách cho phép $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ là bất kỳ hàm nào ở mọi nơi.
Adayah 29/07/2017
@RobinSaunders Không, anh ta thừa nhận sự liên tục của $ f '(x) $.
Robin Saunders 29/07/2017
Tôi khá chắc chắn rằng điều kiện là không thực sự cần thiết.

Peter 28/07/2017.

Một ví dụ đơn giản là $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 28/07/2017.

Một vấn đề thú vị hơn là tìm một hàm $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, có ảnh là $ \ mathbb {R} $ và thỏa mãn $ f '(x)> f (x) $ cho tất cả $ x \ in \ mathbb {R} $. Một trong những chức năng đó là

$$ \ sinh (x), $$

bởi vì

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ cho tất cả $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 28/07/2017.

Lấy $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Sau đó cho $ \ alpha> 1 $ chúng ta có $ f '(x)> f (x) $ và với $ \ alpha <1 $ chúng ta có $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 28/07/2017.

Làm thế nào về nếu bạn nhìn vào nó như là một phương trình vi phân. Nói

$ y '= y + 1 $

trong đó có giải pháp $ y = Ce ^ x -1 $

Hoặc $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

trong đó có giải pháp $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Hoặc $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

trong đó có giải pháp $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 29/07/2017
Câu trả lời của Ixion tổng quát cho $ y '(x) = y (x) + f (x) $ cho bất kỳ $ f (x)> 0 $.
steven gregory 29/07/2017
@RobinSaunders - Tôi có nên xóa câu trả lời của tôi không?
Robin Saunders 30/07/2017
Tôi không biết nhiều về nghi thức của Stack Exchange, nhưng tôi đoán rằng kể từ khi bạn gửi câu trả lời đầu tiên và nó chứa các ví dụ cụ thể không có trong câu trả lời khác, nên để lại nó.

Eric Towers 30/07/2017.

Một ví dụ very đơn giản là $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Có liên quan đến chỉnh sửa của bạn: đây không phải là hàm mũ.

Các ví dụ khác không phải là hàm mũ tức thời:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ ở mọi nơi đều phủ định và ở mọi nơi đều tăng một cách đơn điệu, do đó ở khắp mọi nơi ít hơn nguồn gốc của nó.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ cũng ở mọi nơi tiêu cực và ở mọi nơi nghiêm ngặt tăng lên đơn điệu. (Những điều này rất giống nhau, vì chúng là những bản sao chuyển của CDF của bản phân phối Cauchy và Gaussian chuẩn (chuẩn / chuẩn)).
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ là chi nhánh dưới của một hyperbola có $ x $ -axis và dòng $ y = x $ as asymptotes. Ở khắp mọi nơi là tiêu cực và ở mọi nơi nghiêm ngặt tăng lên một cách đơn điệu.

Thiago Nascimento 28/07/2017.

Xem, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 28/07/2017
Nói chung, bất kỳ chức năng tiêu cực với phái sinh tích cực ...

Joshua Kidd 28/07/2017.

Một ví dụ đơn giản khác là $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 29/07/2017.

Sự bất bình đẳng $$ f '(x)> f (x) $$ tương đương với $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Vì vậy, giải pháp tổng quát là lấy bất kỳ hàm có thể khác biệt $ g (x) $ với $ g '(x)> 0 $ và đặt $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Lưu ý rằng không có gì là giả định về $ f $ ngoại trừ tính khác biệt, điều này là cần thiết để đặt câu hỏi ở nơi đầu tiên.


HelloGoodbye 30/07/2017.

Đối với bất kỳ hàm phân biệt nào $ f $ cho cả $ f (x) $ và $ f '(x) $ được giới hạn trong phạm vi hữu hạn, $ f' (x) - f (x) $ cũng giới hạn trong phạm vi hữu hạn, vì vậy có một $ c $ với $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Do đó, một hàm $ g (x) = f (x) - c $ có thể được hình thành trong đó $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ hoặc $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Ví dụ, điều này giữ cho nhiều chức năng định kỳ khác biệt.

5 comments
1 Adayah 29/07/2017
Câu lệnh cuối cùng sai, vì không phải mọi chức năng tuần hoàn khác nhau đều bị hạn chế dẫn xuất.
HelloGoodbye 30/07/2017
@Adayah Bạn nói đúng. Tôi đã xem xét các chức năng định kỳ được phân biệt ở mọi điểm trong $ \ mathbb {R} $, nhưng tôi nhận ra rằng một chức năng chỉ có thể được differentiable ở tất cả các điểm trong tên miền của nó để được xem xét differentiable. Tôi đã cập nhật câu trả lời của tôi.
Adayah 30/07/2017
Tôi có nghĩa là, một hàm $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ có thể định kỳ và có thể phân biệt được ở mọi điểm $ a \ in \ mathbb {R} $ và vẫn có nguồn gốc không bị chặn.
HelloGoodbye 30/07/2017
@Adayah Bạn có bất kỳ ví dụ về chức năng như vậy?
HelloGoodbye 30/07/2017
@Adayah Tôi có nghĩa là, nếu một hàm $ f $ có thể phân biệt được ở mọi nơi, dẫn xuất của nó $ f 'phải tồn tại ở mọi nơi, và $ f' $ phải liên tục (vì nếu nó có bất kỳ sự gián đoạn, $ f '$ không thể tồn tại ở thời điểm đó ). Điều đó làm cho không thể $ f '$ được vô hạn, phải không?

Henk Koppelaar 02/08/2017.

Mike là câu trả lời cho câu hỏi bổ sung của bạn "Có những ví dụ cụ thể về điều này không?" được kích hoạt bởi dromastyx.

Ví dụ của ông cho thấy các chức năng hyperbolic mô tả chính xác hiện tượng vật lý của 'solitons'.

Solitons là những con sóng đơn độc như nắng, Tsunamis vv Một ví dụ về việc tìm kiếm các sóng như vậy ẩn trong các phương trình được biết là:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags